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'''一階保持'''（First-order hold、FOH）是一種{{link-en|信號重建|signal reconstruction|重建信號}}的數學模型，可以透過傳統的[[數位類比轉換器]]（DAC）及稱為[[積分器]]的[[模拟电路]]完成。一階保持可以將訊號重建為{{link-en|分段線性函數|Piecewise linear function|分段線性}}近似原始訊號的函數。在實務上，像一階保持或[[零階保持]]之類的保持電路有其必要性。根據[[采样定理]]，可以將離散後的訊號用[[狄拉克δ函数|狄拉克δ脈衝序列]]''x''<sub>s</sub>(''t'')表示，再經過[[低通滤波器]]即可還原到原始的訊號。不過實務上無法輸出狄拉克δ脈衝序列。利用傳統的數位類比轉換器以及一些線性類比電路就可以重建預測型或是延遲型的一階保持電路。

雖然在實務上的作法有所不同，但可以將假想的狄拉克δ脈衝序列''x''<sub>s</sub>(''t'')有特定特性的{{link-en|濾波器 (訊號處理)|filter (signal processing)|濾波器}}（若是線性時不變系統，可以用[[冲激响应]]完全描述其特性），因此每一個脈衝輸入都可以產生正確的分段線性輸出。

==基本的一階保持==
[[Image:Sampled.signal.svg|thumb|理想取樣訊號''x''<sub>s</sub>(''t'').]]

一階保持是利用假想的{{link-en|濾波器 (訊號處理)|filter (signal processing)|濾波器}}或是線性時不變系統，將理想的取樣訊號

:{|
|-
|<math>x_s(t)\,</math>
|<math>= x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \ </math>
|-
|
|<math>= T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \ </math>
|}

[[Image:Firstorderhold.signal.svg|thumb|分段連續信號''x''<sub>FOH</sub>(''t'').]]

轉換為分段線性的訊號。

:<math>x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} \right) \ </math>

[[Image:Firstorderhold.impulseresponse.svg|thumb|一階保持的冲激响应''h''<sub>FOH</sub>(''t'')（非因果）]]

所得到的等效[[冲激响应]]為

: <math>h_{\mathrm{FOH}}(t)\,=  \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} \right)
 = \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t|}{T} \right) & \mbox{if } |t| < T  \\
0           & \mbox{otherwise}
\end{cases} \ </math>

: 其中<math>\mathrm{tri}(x) \ </math> 是[[三角形函数]]

等效頻率響應是冲激响应的[[傅里叶变换]]

:{|
|-
|<math>H_{\mathrm{FOH}}(f)\,</math>
|<math>= \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math>
|-
|
|<math>= \left( \frac{e^{i \pi fT} - e^{-i \pi fT}}{i 2 \pi fT} \right)^2 \ </math>
|-
|
|<math>= \mathrm{sinc}^2(fT) \ </math>
|}

: 其中<math>\mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \ </math>是正規化的[[Sinc函数]]。

可以令''s'' = ''i'' 2 π ''f''，得到FOH[[传递函数]]的[[拉普拉斯变换]]：

:{|
|-
|<math>H_{\mathrm{FOH}}(s)\,</math>
|<math>= \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math>
|-
|
|<math>= \left( \frac{e^{sT/2} - e^{-sT/2}}{sT} \right)^2 \ </math>
|}

因為一階保持濾波器的衝激響應在t小於0時就已有值，因此此系統是[[反因果系統]]。
==延遲一階保持==
[[Image:Delayedfirstorderhold.signal.svg|thumb|有延遲的分段連續信號 ''x''<sub>FOH</sub>(''t'').]]

'''延遲一階保持'''（Delayed first-order hold）有時也稱為'''因果一階保持'''（causal first-order hold）和一階保持相同，但輸出會延遲一個[[取樣]]週期才輸出，因此會有延遲的分段連續信號

:<math>x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - T - nT}{T} \right) \ </math>

[[Image:Delayedfirstorderhold.impulseresponse.svg|thumb|因果一階保持的衝激響應''h''<sub>FOH</sub>(''t'').]]

其等效[[冲激响应]]為

: <math>h_{\mathrm{FOH}}(t)\,=  \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t-T}{T} \right)
 = \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t-T|}{T} \right) & \mbox{if } |t-T| < T  \\
0           & \mbox{otherwise}
\end{cases} \ </math>

:其中<math>\mathrm{tri}(x) \ </math>為[[三角形函数]].

等效頻率響應是冲激响应的[[傅里叶变换]]

:{|
|-
|<math>H_{\mathrm{FOH}}(f)\,</math>
|<math>= \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math>
|-
|
|<math>= \left( \frac{1 - e^{-i 2\pi fT}}{i 2 \pi fT} \right)^2 \ </math>
|-
|
|<math>= e^{-i 2 \pi fT} \mathrm{sinc}^2(fT) \ </math>
|}

可以令''s'' = ''i'' 2 π ''f''，得到FOH[[传递函数]]的[[拉普拉斯变换]]：

:{|
|-
|<math>H_{\mathrm{FOH}}(s)\,</math>
|<math>= \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math>
|-
|
|<math>=  \left( \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \right)^2 \ </math>
|}

延遲一階保持為[[因果系统]]。冲激响应在t小於0時沒有值。

這類的延遲一階保持可以用增益為''H''(''z'') = 1 − ''z''<sup>−1</sup>的[[数字滤波器]]，將数字滤波器（''x''[''n'']−''x''[''n''−1]）的輸出送到傳統的[[數位類比轉換器]]（本質上是[[零階保持]]），再用''H''(''s'') = 1/(''sT'')來積分DAC的輸出。

==預測型一階保持==
[[Image:Predictivefirstorderhold.signal.svg|thumb|預測型的分段連續信號''x''<sub>FOH</sub>(''t'').]]

'''預測型一階保持'''（predictive first-order hold）和上二一個一階保持的差異較大，預測型一階保持是因果系統的假想線性時不變系統，可以將理論取樣信號
:{|
|-
|<math>x_s(t)\,</math>
|<math>= x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \ </math>
|-
|
|<math>= T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \ </math>
|}

轉換為分段線性輸出信號，會用目前取樣以及上一次的取様來線性[[外推]]下一個取樣點，此濾波器的輸出為

:{|
|-
|<math>x_{\mathrm{FOH}}(t)\,</math>
|<math>= \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( x(nT) + \left( x(nT) - x((n-1)T) \right) \frac{t-nT}{T} \right) \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T} - \frac{1}{2} \right) \ </math>
|-
|
|<math>= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \left( \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T} - \frac{1}{2} \right) - \mathrm{rect} \left(\frac{t - nT}{T} - \frac{3}{2} \right) + \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} - 1 \right) \right) \ </math>
|}

[[Image:Predictivefirstorderhold.impulseresponse.svg|thumb|預測型一階保持的衝激響應''h''<sub>FOH</sub>(''t'').]]

其等效[[冲激响应]]為

:{|
|-
|<math>h_{\mathrm{FOH}}(t)\,</math>
|<math>=  \frac{1}{T}  \left( \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T} - \frac{1}{2} \right) - \mathrm{rect} \left(\frac{t}{T} - \frac{3}{2} \right) + \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} -1 \right) \right) \ </math>
|-
|
|<math>= \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 + \frac{t}{T} \right) & \mbox{if } 0 \le t < T  \\
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{t}{T} \right) & \mbox{if } T \le t < 2T  \\
0           & \mbox{otherwise}
\end{cases} \ </math>
|}

: 其中<math>\mathrm{rect}(x) \ </math>為[[矩形函数]]，而<math>\mathrm{tri}(x) \ </math>為[[三角形函数]]。

等效頻率響應為衝激響應的[[傅里叶变换]]。

:{|
|-
|<math>H_{\mathrm{FOH}}(f)\,</math>
|<math>= \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math>
|-
|
|<math>= (1 + i 2\pi fT) \left( \frac{1 - e^{-i 2\pi fT}}{i 2\pi fT} \right)^2 \ </math>
|-
|
|<math>= (1 + i 2\pi fT) e^{-i 2\pi fT} \mathrm{sinc}^2(fT)) \ </math>
|}

:其中<math>\mathrm{sinc}(x) \ </math>為[[Sinc函数]]。

可以令s = i 2 π f，得到FOH[[傳遞函數]]的[[拉普拉斯变换]]]：

:{|
|-
|<math>H_{\mathrm{FOH}}(s)\,</math>
|<math>= \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ </math>
|-
|
|<math>=  (1 + sT) \left( \frac{1 - e^{-sT}}{sT} \right)^2 \ </math>
|}

此為[[因果系统]]。預測型一階保持的衝激響應不會在輸入脈衝之前就出現。

這種分段線性的重建信號方式可以用增益''H''(''z'') = 1 − ''z''<sup>−1</sup的[[数字滤波器]]來實現，將數位濾波器的輸出（就是''x''[''n'']−''x''[''n''−1]）接到理想的傳統[[數位類比轉換器]]（其本質上是零階保持），將其輸出接到類比濾波器，其傳遞函數為''H''(''s'') = (1+''sT'')/(''sT'')。

==相關條目==
*[[采样定理]]
*[[零階保持]]
*[[双线性插值]]

==外部連結==
* [http://www.dsplog.com/2007/03/25/zero-order-hold-and-first-order-hold-based-interpolation/  Zero order hold and first order hold based interpolation]{{Wayback|url=http://www.dsplog.com/2007/03/25/zero-order-hold-and-first-order-hold-based-interpolation/ |date=20190911044103 }}
[[Category:数字信号处理]]
[[Category:電機工程]]
[[Category:控制理论]]
[[Category:信号处理]]