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'''一阶常微分方程'''是[[数学]]中常见而基础的一类[[微分方程]]，通常写成如下的形式：
::<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = f(x(t), t)</math>
其中的{{mvar|x}}是要解的未知[[函数]]，{{mvar|t}}是函数的自变量，{{mvar|f}}是一个已知的[[连续函数]]。

一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到，是常见的数学模型的重要构成部分。

==一阶线性微分方程==
{{main|线性微分方程}}
一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式：
::<math>\forall t \in I, \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t)x(t) + b(t)</math>
其中{{mvar|I}}是方程的求解范围，一般是[[实数]]集的子集。{{mvar|a}}和{{mvar|b}}是已知的连续函数。如果{{mvar|b}}是零函数，则称此方程为齐次的，否则称其为非齐次的。

一阶齐次线性微分方程：
::<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t)x(t)</math>
的解函数构成一个一维实[[线性空间]]：
::<math> S = \left\{x : \; t \mapsto c e^{\int^t a(u)\mathrm{d}u} ; \; \; c \in \mathbb{R}\right\}.</math>

一阶非齐次线性微分方程
::<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t)x(t) + b(t)</math>
的解函数构成一个一维实[[仿射空间]]：
::<math> \begin{align}
S' &= \left\{x : \; t \mapsto \left(c + \int^t b(u) e^{-\int^u a(v)\mathrm{d}v} \mathrm{d}u \right) e^{\int^t a(u)\mathrm{d}u} ; \; \; c \in \mathbb{R}\right\} \\
&= S + x^* ,
\end{align} </math>
其中
::<math>x^* : \; t \mapsto e^{\int^t a(u)\mathrm{d}u} \int^t b(u) e^{-\int^u a(v)\mathrm{d}v} \mathrm{d}u = \int^t b(u) e^{\int_u^t a(v)\mathrm{d}v} \mathrm{d}u</math>
是原微分方程的一个特解。

==变量分离方程==
如果一个一阶常微分方程能写成如下形式：
::<math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a(t) b(x),</math>
则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量{{mvar|t}}相关，另一个则只与未知函数{{mvar|x}}相关。

变量分离函数可以变形为：
::<math>\frac{\mathrm{d}x}{ b(x)} = a(t)\mathrm{d}t</math>
的微分形式。将两端同时积分，可以得到：
::<math>\int^x \frac{1}{b(u)} \mathrm{d} u = \int^t a(s)\mathrm{d}s + c </math>
这便是方程的通解。由于上述关系为[[隐函数]]关系，而不是<math>x = x(t)</math>的形式，称为'''隐式解'''。

不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程，从而求解。

==恰当微分方程==
将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式：
::<math>\mathrm{d}x = f(x, t) \mathrm{d}t</math>
将{{mvar|t}}和{{mvar|x}}视为变量平等看待，可以将其看作是对称的一阶微分方程：
::<math>P(x, t)\mathrm{d}x + Q(x, t) \mathrm{d}t = 0</math>
如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的[[全微分]]：
::<math>P(x, t)\mathrm{d}x + Q(x, t) \mathrm{d}t = \mathrm{d}U (x, t) = \frac{\partial U}{\partial x} (x, t) \mathrm{d}x +\frac{\partial U}{\partial t} (x, t) \mathrm{d}t , </math>
那么隐函数：
::<math>U(x, t) = c</math>
就是原微分方程的解函数，其中的{{mvar|c}}可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作'''恰当微分方程'''。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程，其中的函数{{mvar|P}}和{{mvar|Q}}必须一阶[[光滑函数|连续可微]]，并且满足以下的条件：
::<math>\frac{\partial }{\partial t}P(x, t) = \frac{\partial }{\partial x} Q(x, t) .</math>
而当以上条件满足时，也可以具体求出解函数的形式：
::<math>U(x, t) = \int^x P(u, t) \mathrm{d}u + \int \left[ Q(x, s) -  \left.\frac{\partial }{\partial t}\int^x P(u, t) \mathrm{d}u\right|_{t=s}\right] \mathrm{d}s</math>

=== 积分因子 ===
如果方程
::<math>P(x, t)\mathrm{d}x + Q(x, t) \mathrm{d}t = 0</math>
中的函数{{mvar|P}}和{{mvar|Q}}不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数{{mvar|μ}}，使得：
::<math>\mu (x, t) P(x, t)\mathrm{d}x + \mu (x, t) Q(x, t) \mathrm{d}t = \mathrm{d}U(x, t) </math>
这样的函数{{mvar|μ}}称为方程的'''积分因子'''。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。

== 解的存在性 ==
{{main|柯西-利普希茨定理}}
很多情况下，需要讨论带有[[初值问题]]的一阶常微分方程，即：
::<math>\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}  =  f(x(t),t) , \; \; x(t_0) = x_0.</math>
是否有解。

设{{mvar|E}}为一个完备的有限维[[赋范向量空间]]，{{mvar|U}}为{{mvar|E}}中的一个[[开集]]，{{mvar|I}}是<math> \mathbb R</math>中的一个[[区间]]。函数{{mvar|f}}是从{{mvar|U}}×{{mvar|I}}映射到{{mvar|E}}中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了，若函数{{mvar|f}}在{{mvar|U}}中满足[[利普希茨条件]]，也就是说，
::<math> \exists \kappa >0,\ \forall t \in I,\ \forall x,y \in U,\  \left| f(x,t) - f(y,t)\right|  \le  \kappa  \left| x - y \right|</math>
那么对于给定的初始条件：<math>x(t_0) =  x_0</math>，<math>t_0 \in  I</math>、<math>x_0 \in U</math>，微分方程存在一个解<math>(J,x(t))</math>，其中<math>J \subset I</math>是一个包含<math>t_0</math>的区间，<math>x(t)</math>是一个从 <math>J </math>映射到<math>U </math>的连续函数，满足初始条件和原微分方程。同时，满足初值条件的最大解唯一存在。

== 参见 ==

==参考来源 ==
*{{cite book|author=王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松|title=常微分方程|year=2006|publisher=高等教育出版社，第三版|isbn=9787040193664}}

[[Category:微分方程]]