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{{NoteTA|G1=Math}}
'''-{zh:一致連續;zh-hans:一致连续;zh-hant:均勻連續}-'''又稱'''-{zh:均勻連續;zh-cn:均匀连续; zh-tw:一致連續}-'''，（{{lang-en|uniformly continuous}}），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 <math>f(\cdot)</math> 我們只要在定義域中讓任意兩點 <math>x</math> 跟 <math>y</math> 越來越接近，我們就可以讓 <math>f(x)</math> 跟 <math>f(y)</math> 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：<math>f(x)</math> 跟 <math>f(y)</math> 之間的距離並不依賴 ''<math>x</math>'' 跟 <math>y</math> 的位置選擇。
一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某[[度量空间]]上一致连续，则其在此[[度量空间]]上必然连续，但反之未必成立。

== 正式的 ''ε-δ'' 定義==
设 <math>(X, d_1)</math> 和 <math>(Y, d_2)</math> 皆是[[度量空间]]，我們說函数 <math>f : X\to Y</math>  '''一致连续'''，這代表對任意的 <math>\epsilon > 0</math>，存在 <math>\delta >0</math>，使得定義域中任意兩點 <math>x,y</math>  只要 <math>d_1(x,y)< \delta</math>，就有 <math>d_2(f(x),f(y)) < \epsilon </math>。

当 <math>X</math>  和<math>Y</math> 都是[[实数集|實數]]的子集合，<math>d_1</math> 和 <math>d_2</math> 為絕對值 <math>|\cdot|</math> 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 <math>\epsilon > 0</math>，存在 <math>\delta>0</math>，使得对任意兩點 <math>|x-y|< \delta</math>，都有 <math>|f(x)-f(y)|<\epsilon</math>，则稱函數 <math>f</math> 在 <math>X</math>上一致连续。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 <math>\delta</math> 的選擇只依賴 <math>\epsilon</math> 這變數，而不依賴定義域上點的位置。

== 一致连续性定理 ==
<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''定理'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
一个从[[紧空间|紧致度量空间]]到[[度量空间]]的连续函数是一致连续的。
</div>
</div>

<div style="margin-left:20px; margin-top:10px;padding-left:16px;padding-bottom:10px;padding-right:16px;padding-top:10px;background-color:#E8FFC4;width:90%;">
<div style="font-size:105%;">'''证明'''：
</div>
<div style="margin-left:6px;margin-top:6px;font-size:100%;">
设函数<math>f:X\to Y</math>，<math>(X,d_1)</math>为紧致度量空间，<math>(Y,d_2)</math>为度量空间。

假设<math>f</math>不是一致连续的，則存在一個<math>\epsilon>0</math>，对于任意<math>n</math>都存在<math>x_n,y_n</math>满足条件<math>d_1(x_n,y_n)<\tfrac{1}{n}</math>并且<math>d_2(f(x_n),f(y_n))\geq\epsilon</math>。

因为<math>X</math>为紧致度量空间，<math>X</math>是序列紧致的，所以存在一个<math>(x_n)</math>的收敛子序列<math>(x_{k_n})</math>，设其收敛到<math>x</math>。

<math>d_1(x_{k_n},y_{k_n})<\tfrac{1}{k_n}\leq\tfrac{1}{n}\to 0</math>，所以<math>(y_{k_n})\to x</math>。

因为<math>f</math>连续，<math>\epsilon\leq d_2(f(x_{k_n}),f(y_{k_n}))\to d_2(f(x),f(x))=0</math>，矛盾，定理得证。
</div>
</div>
一致连续相比于[[连续函数|连续]]是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

== 相关条目 ==
* [[连续]]
* [[利普希茨连续]]
* [[赫爾德條件|赫爾德連續]]

{{点集拓扑}}

[[Category:微积分]]
[[Category:一致空间]]
[[Category:点集拓扑学|Y]]
[[Category:连续映射]]