查看“︁一致有界性原理”︁的源代码

[[數學]]上，'''一致有界性原理'''，又稱'''巴拿赫–斯坦豪斯定理'''<ref>{{cite book |url = https://books.google.com/books?id=nduYtmyywcUC&source=gbs_navlinks_s |title = 英汉数学词汇 |author1 = 张鸿林 |author2 = 葛显良 |publisher = 清华大学出版社 |year = 2005 |isbn = 9787302098935 |page = [https://www.google.co.uk/books/edition/%E8%8B%B1%E6%B1%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%8D%E6%B1%87/nduYtmyywcUC?hl=en&gbpv=1&pg=PA53 53] |quote = Banach–Steinhaus theorem 巴拿赫-斯坦豪斯定理 |access-date = 2022-07-23 |archive-date = 2022-07-23 |archive-url = https://web.archive.org/web/20220723135518/https://books.google.com/books?id=nduYtmyywcUC&source=gbs_navlinks_s |dead-url = no }}</ref>、'''共鸣定理'''，是[[泛函分析]]的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在[[巴拿赫空间]]上的[[连续线性算子]]，該族算子逐點有界，當且僅當其在[[算子范数]]意義下一致有界。

定理最早由[[斯特凡·巴拿赫]]和{{Link-en|胡戈·斯坦豪斯|Hugo Steinhaus}}<!--《英汉数学词汇》p. 895 "H. D. Steinhaus" 譯為斯坦豪斯-->於1927年發表，亦由[[漢斯·哈恩]]獨立證出。

==定理內容==
設 ''X'' 和 ''Y'' 為兩個巴拿赫空間。假設 ''F'' 為由 ''X'' 映向 ''Y'' 的若干個連續線性算子的集合。若對於 ''X'' 中的任意一個 ''x'' ，都有

:<math>\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y  < \infty, </math>

則

:<math>\sup\nolimits_{T \in F,\|x\|=1} \|T(x)\|_Y=\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)}  < \infty.</math>

===證明===
由於 ''X'' [[完备空间|完備]]，利用[[贝尔纲定理]]可以得到以下簡短的證明。

假定對於 ''X'' 中的任意一個 ''x'', 都有

:<math>\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y  < \infty. </math>

對任意整數 <math>n \in \mathbb{N},</math>記

:<math> X_n = \left  \{x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|T (x)\|_Y \le n \right \}. </math>

則 <math>X_n</math> 為[[閉集]]，且由假設有

:<math>\bigcup\nolimits_{n \in \mathbf{N}} X_n = X \neq \varnothing.</math>

[[貝爾綱定理]]適用於非空的[[完备空间]]&nbsp;''X'', 故存在 ''m'' 使得 <math> X_m</math> 的[[內部]]非空，即存在 <math>x_0 \in X_m</math> 和 {{nowrap|ε &gt; 0}} 使得

:<math> \overline{B_\varepsilon (x_0)} := \{x \in X \,:\, \|x - x_0\| \le \varepsilon \} \subseteq  X_m.</math>

設 ''u'' ∈ ''X'' 滿足 {{nowrap|ǁ''u''ǁ &le; 1}} 和 {{nowrap|''T'' ∈ ''F''}}, 則有：

:<math>\begin{align}
\|T(u) \|_Y &= \varepsilon^{-1} \left \|T \left( x_0 + \varepsilon u \right) - T(x_0) \right \|_Y    & [T \text{ 為  線  性  } ] \\
&\leq \varepsilon^{-1} \left ( \left\| T (x_0 + \varepsilon u) \right\|_Y + \left\| T (x_0) \right\|_Y \right ) \\
&\leq \varepsilon^{-1} (m + m).   & [ \text{ 因  為   } \ x_0 + \varepsilon u, \ x_0 \in X_m ] \\
\end{align}</math>

使 ''u'' 歷遍 ''X'' 的單位球，並取遍 <math>T\in F,</math> 得到

:<math> \sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)}  \leq 2 \varepsilon^{-1} m < \infty.</math>

因此定理成立。

也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 {{harv|Sokal|2011}}.

==推論==
{{无来源章节}}
該定理可以推出：若一列有界算子 (''T<sub>n</sub>'') 逐點收斂，即對 ''X'' 的任意元素 ''x'', 序列 (''T<sub>n</sub>''(''x'')) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 ''T''.

注意上述推論並未斷言 ''T<sub>n</sub>'' 在算子範數的意義下收斂到 ''T'', 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (''T<sub>n</sub>'') 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 ''T'', 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意[[緊集]]上，均有 ''T<sub>n</sub>'' 一致收斂到 ''T''.

另一推論為：賦範空間 ''Y'' 的弱有界子集 ''S'' 必然有界。

理由是，可以將 ''S'' 看成巴拿赫空間 ''X''&nbsp;=&nbsp;''Y*'' (''Y''的[[对偶空间#連續對偶空間|連續對偶]]）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，''S'' 的元素（視為 ''X'' 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 ''Y**'' 上的範數）有界，但由[[哈恩－巴拿赫定理]]可知，''S'' 的任意元素 ''s'' 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 ''Y'' 的範數。

記 ''L''(''X'',&nbsp;''Y'') 為自 ''X'' 映向 ''Y'' 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 ''F''  為 ''L''(''X'',&nbsp;''Y'') 的無界子集，則由一致有界性原理，有：

:<math> R = \left \{ x \in X  \ : \ \sup\nolimits_{T \in F} \|Tx\|_Y = \infty \right \} \neq \varnothing</math>

更甚者，''R'' 在 ''X'' 中稠密。原因是，''R'' 在 ''X'' 中的補集是 &cup;''X<sub>n</sub>'', 故為閉集 ''X<sub>n</sub>'' 的可數並。按照定理的證明過程，每個 ''X<sub>n</sub>'' 都[[无处稠密集|无处稠密]]，故 &cup;''X<sub>n</sub>'' 為[[第一綱集]]。所以 ''R'' 是[[貝爾空間]]中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為''剩餘集''）是稠密的。如此推理可得'''奇點凝聚原理'''，即：

{{Equation box 1|indent=:|equation=若 ''X'' 為巴拿赫空間，{''Y<sub>n</sub>''} 為一系列賦範空間，''F<sub>n</sub>'' 為 ''L(X, Y<sub>n</sub>)'' 的無界子集，則集合
<math> R = \left \{ x \in X \ : \ \forall n \in \mathbf{N},\; \sup\nolimits_{T \in F_n} \|Tx\|_{Y_n} = \infty \right \} </math>
為第二綱集，因此在 ''X'' 中稠密。|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}} 

原因是，''R'' 的補集可以寫成第一綱集的可數並

:<math>\bigcup\nolimits_{n,m} \left \{ x \in X \ : \ \sup\nolimits_{T \in F_n} \|Tx\|_{Y_n} \le m \right \}.</math>

因此其剩餘集 ''R'' 稠密。

==例子：傅立葉級數的逐點收斂==
設 <math>\mathbb{T}</math> 為[[圓群|單位圓]]，<math>C(\mathbb{T})</math> 為 <math>\mathbb{T}</math> 上連續函數在[[一致範數]]意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 <math>C(\mathbb{T})</math> 中有一個元素，其[[傅立葉級數]]不逐點收斂。

對 <math>f \in C(\mathbb{T}),</math> 其傅立葉級數定義為

:<math>\sum_{k \in \mathbf{Z}} \hat{f}(k) e^{ikx} = \sum_{k \in \mathbf{Z}}\frac{1}{2\pi} \left (\int_0 ^{2 \pi} f(t) e^{-ikt} dt \right) e^{ikx},</math>

而級數的第 ''N'' 階對稱部分和為

:<math> S_N(f)(x) = \sum_{k=-N}^N \hat{f}(k) e^{ikx} =  \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} f(t) D_N(x - t) \, dt,</math>

其中 ''D<sub>N</sub>'' 為第 ''N'' 階[[狄利克雷核]]。選定 <math>x \in \mathbb{T},</math> 然後考慮序列 (''S<sub>N</sub>''(''f'')(''x'')) 的收斂性。以下式定義泛函 <math>\varphi_{N,x} : C(\mathbb{T})\rightarrow \mathbb{C}</math> ：

:<math>\varphi_{N, x} (f) =  S_N(f)(x), \qquad f \in C(\mathbb{T}),</math>

則 φ<sub>''N,x''</sub> 有界。而 φ<sub>''N,x''</sub> 於 <math>C(\mathbb{T})</math> 的對偶空間的範數，是{{Link-en|帶號測度|Signed measure}}  (2π)<sup>−1</sup>''D''<sub>''N''</sub>(''x''−''t'')&nbsp;d''t'' 的範數，故

:<math> \left \| \varphi_{N,x} \right \| =  \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} \left | D_N(x-t) \right  | \, dt =  \frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} \left | D_N(s) \right  | \, ds = \left \|  D_N \right \|_{L^1(\mathbb{T})}.</math>

可以驗證

:<math>\frac{1}{2 \pi} \int_0 ^{2 \pi} | D_N(t) | \, dt \ge \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\left |\sin\left ( (N+\tfrac{1}{2})t \right )\right|}{t/2} \, dt \to \infty.</math>

故族 {φ<sub>''N,x''</sub>} 是 <math>C(\mathbb{T})^\ast</math> (<math>C(\mathbb{T})</math> 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 <math>x \in \mathbb{T},</math>傅立葉級數於 ''x'' 發散的連續函數在 <math>C(\mathbb{T})</math> 中稠密。

也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (''x<sub>m</sub>'') 為 <math>\mathbb{T}</math> 中的稠密序列。如上定義 φ<sub>''N,x<sub>m</sub>''</sub>. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 ''x<sub>m</sub>'' 都發散的連續函數在 <math>C(\mathbb{T})</math> 中稠密。（然而要注意，根據{{Link-en|卡爾松定理|Carleson's theorem}}，一個連續函數 ''f'' 的傅立葉級數，幾乎於每一點 <math>x \in \mathbb{T}</math> 都收斂到 ''f''(''x'').

== 推廣 ==
受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是{{Link-en|桶型空間|Barrelled space}}。其上的一致有界性原理為{{harv|Bourbaki|1987|loc=Theorem III.2.1}}:
{{Equation box 1|indent=:|equation=給定桶型空間 ''X'' 和{{Link-en|局部凸空間|locally convex space}}''Y'', 則任意一族由 ''X'' 映向 ''Y'' 的逐點有界的[[连续线性算子]]都[[等度连续]]。|border colour=#50C878|background colour=#ECFCF4}} 

若把 ''X'' 換成一個[[貝爾空間]]而保持 ''Y'' 為局部凸的，則結論同樣成立。{{harv|Shtern|2001}}

{{harvtxt|Dieudonné|1970}} 證明了 {{Link-en|Fréchet 空間|Fréchet space}}上一個較弱的結論：

若 ''X'' 為 Fréchet 空間， ''Y'' 為賦範空間，''H'' 為由 ''X'' 映向 ''Y'' 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 ''X'' 中的任意元素 ''x''，
:<math>\sup\nolimits_{u\in H}\|u(x)\|<\infty,</math> 
則族 ''H'' 等度連續。

==參見==
*{{Link-en|桶型空間|Barrelled space}}是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的[[拓撲向量空間]]。

==參考文獻==
{{reflist}}
*{{citation|first1=Stefan|last1=Banach|authorlink1=Stefan Banach|first2=Hugo|last2=Steinhaus|authorlink2=Hugo Steinhaus|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918.pdf|title=Sur le principe de la condensation de singularités|journal={{tsl|en|Fundamenta Mathematicae||Fundamenta Mathematicae}}|volume=9|pages=50–61|year=1927|accessdate=2018-12-01|archive-date=2019-05-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20190501075944/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918.pdf|dead-url=no}}. {{fr}}
*{{citation|first=Nicolas|last=Bourbaki|authorlink=Nicolas Bourbaki|series=Elements of mathematics|title=Topological vector spaces|publisher=Springer|year=1987|isbn=978-3-540-42338-6}}
*{{citation|first=Jean|last=Dieudonné|authorlink=Jean Dieudonné|title=Treatise on analysis, Volume 2|year=1970|publisher=Academic Press}}.
*{{citation|first=Walter|last=Rudin|authorlink=Walter Rudin|title=Real and complex analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1966}}.
*{{springer|Banach–Steinhaus theorem|first=A.I.|last=Shtern|year=2001|id=b/b015200}}.
*{{citation|first=Alan|last=Sokal|authorlink=Alan Sokal|title=A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem|journal=Amer. Math. Monthly|volume=118|pages=450-452|year=2011|arxiv=1005.1585|doi=10.4169/amer.math.monthly.118.05.450}}.
{{泛函分析}}
{{泛函分析定理}}

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:泛函分析]]
[[Category:数学原理]]
[[Category:泛函分析定理]]