查看“︁一致估计量”︁的源代码

{{no footnotes|time=2020-01-25T10:34:45+00:00}}
{{NoteTA |G1=Math
|1= zh-cn: 参数;zh-tw:母數;zh-hant:參數
|2= zh-cn: 矩;zh-tw:動差
}}
[[Image:Consistency of estimator.svg|thumb|250px|{<math>T_1</math>, <math>T_2</math>, <math>T_3</math>, ...}是参数<math>\theta_0</math>的一组估计量，待估参数真值为4。随着样本量的增加该估计量序列越发集中于<math>\theta_0</math>的真值；而同时这些估计量是有偏的。该估计量序列的极限分布将退化为一个随机变量以概率1收敛于<math>\theta_0</math>。]]

在[[统计学]]中，'''一致估计量'''(Consistent Estimater)、'''渐进一致估计量'''，亦称'''相合估计量'''、'''相容估计量'''。其所表征的一致性或（相合性）同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加，[[点估计|估计]][[估计量的偏差|误差]]在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的[[母數|参数]]的真实值附近，使得估计量[[依概率收敛]]于<math>\theta_0</math>。

这里定义的一致性称''弱相合性''。如果将概率收敛的方式改为[[随机变量的收敛#依概率1收敛|以概率1收敛]]此时称''强相合性''。

== 定义 ==
设<math>g(\theta)</math>为定义在参数空间<math>\Theta</math>上的一维数值函数，用<math>\widehat{T}_n = T(X^{(n)})</math>去估计它。这里<math>X^{(n)} = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math>为样本，<math>n</math>为样本量。如果当<math>n\to\infty</math>时，估计量<math>\widehat{T}_n</math>在某个意义<math>C</math>之下收敛于被估计的<math>g(\theta)</math>，则称<math>\widehat{T}_n</math>是<math>g(\theta)</math>的一个意义<math>C</math>之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况：

* <math>C</math>表示依概率收敛，即是<math>\widehat{T}_n \overset{}{\to} g(\theta) </math>，这时所定义的相合性称'''弱相合'''。

* <math>C</math>表示以概率1收敛，即是<math>\widehat{T}_n \overset{a.s.}{\to} g(\theta) </math>，这时所定义的相合性称'''强相合'''。

* <math>C</math>表示以<math>r</math>阶矩收敛(<math>r > 0</math>)，即是<math>\mathrm{E}|\widehat{T}_n - g(\theta)|^r\to 0</math>，这时所定义的相合性称'''<math>r</math>阶矩相合'''，简称'''矩相合'''。

根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合，反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。

如果<math>g(\theta) = (g_1(\theta), g_2(\theta), \cdots, g_k(\theta))</math>是多维的，<math>\forall i \in \{1, 2, \cdots, k\}</math>，<math>\widehat{T}_{ni}</math>为<math>g_i(\theta)</math>在某意义下的相合估计，则称估计量<math>\widehat{T}_n = (\widehat{T}_{n1}, \widehat{T}_{n2}, \cdots, \widehat{T}_{nk})</math>在该意义下相合。

因此一般性讨论中可以只考虑<math>g(\theta)</math>为1维的情况。

== 性质 ==
=== 泛函不变性 ===

设参数空间<math>\Theta\subset \mathbb{R}^k</math>，<math>g(\theta)</math>为定义在开集<math>\widetilde{\Theta}\subset\Theta</math>上的实值连续函数。若<math>\widehat{T}_n</math>是<math>\theta</math>的（强/弱）相合估计，则<math>g(\widehat{T}_n)</math>是<math>g(\theta)</math>的（强/弱）相合估计。

该定理不适用于矩相合。

由该定理和[[大数定律|Kolmogorov强大数定律]]可推知[[矩估计|矩估计]]为强相合估计。

=== 存在性的充分条件 ===

设参数空间<math>\Theta\subset \mathbb{R}^k</math>，独立同分布样本<math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math>其总体分布函数是k维分布函数<math>F_{\theta}(x)</math>。若<math>\forall \theta \in \Theta, \varepsilon > 0 </math> 有
: <math>
    \inf\{ \sup_{x \in \mathbb{R}^k}| F_{\theta} - F_{\varphi} | : \varphi \in \Theta, \|\theta - \varphi\| > \varepsilon \} > 0
  </math>
则<math>\theta</math>的强相合估计存在。

=== 存在性的一个必要条件 ===

设参数空间<math>\Theta\subset \mathbb{R}^k</math>，独立同分布样本<math>X_1, X_2, \cdots, X_n</math>其总体分布函数是k维分布函数<math>F_{\theta}(x)</math>。若<math>\theta</math>的相合估计存在，且<math>\theta \neq \varphi \in \Theta</math>时，<math>F_{\theta} \neq F_{\varphi}</math>。

=== 存在性的充要条件 ===

至今没有得到回答。

== 参考文献 ==
* {{cite book
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  | url = https://archive.org/details/gailulunyushulit0001unse | year = 2008
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  | isbn = 978-7-04-023896-9
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  | edition = 2nd
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  | title = 高等数理统计学
  | year = 2009
  | publisher = 中国科学技术大学出版社
  | isbn = 978-7-312-02281-4
  | ref = cxr
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* {{SpringerEOM| title=Consistent estimator |id=C/c025240 |first=M. S. |last=Nikulin}}


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[[Category:统计量]]
[[Category:估计理论]]