查看“︁−1”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|G2=IT
|1=zh-cn:单位元; zh-hk:單位元; zh-sg:单位元; zh-tw:單位元素;
}}
{{refimprove|time=2016-04-03T02:53:49+00:00}}
{{整数
| num = -1
| 小写 = 负一
| 大写 = 负壹
| 絕對值 = [[1]]
| 相反數 = [[1]]
| 質因數分解 = [[單位元]]
| 因數 = 1
| 三進制 = hide
| 四進制 = hide
| 五進制 = hide
| lang1 = [[印度-阿拉伯数字系统|阿拉伯文]]
| lang1 symbol = −{{resize|150%|١}}
| lang3 = [[孟加拉语]]
| lang3 symbol = −{{resize|150%|১}}
}}
{{高斯整數導航}}
在[[數學]]中，'''負一'''寫作 {{Math|'''&minus;1'''}}，是 [[1|{{Math|1}}]] 的[[加法逆元]]，即當 {{Math|&minus;1}} 加上 {{Math|1}} 之後就變為 [[0|{{Math|0}}]]。<!-- 相反数与加法逆元是一回事 -->{{Math|&minus;1}} 是介於 {{Math|&minus;2}} 與 [[0]] 之間的[[整数|整數]]，亦是最大的[[負整數]]。

負一與[[歐拉恆等式]]相關聯，此[[恆等式]]表示為{{計算結果|e^(i⋅pi)}}。

在[[軟體開發]]中，用來表示變量包含無用的信息，亦能作為函數錯誤時的傳回值。

在[[编程语言]]中，取决于第一个元素是用 0 还是 1 表示，{{Math|&minus;1}} 可以用来[[索引]][[数组]]的最后一个元素，或者倒数第二个元素。

{{Math|&minus;1}} 和 {{Math|1}} 有许多相似但略有不同的特性。

==代數性質==
將一數字乘上-1的動作，等價於將此數值變號。藉由[[分配律]]，以及1是乘法運算的[[單位元]]之公理，對於實數x，我們得到

:<math>x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0 \cdot x=0 </math>

這裡我們使用了「任意實數x乘上0等於0」，將x從等式中約掉。

:<math>0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x \,</math>

[[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|[[複平面]]或[[直角坐標系]]上的0, 1, −1, '''''[[虛數單位|i]]''''', 和 −'''''i''''']]

也就是，

:<math>x+(-1)\cdot x=0 \, </math>

故(&minus;1)&nbsp;·&nbsp;''x''是 ''x''的相反數。

===負一平方===
&minus;1的[[平方]]亦即&minus;1乘於&minus;1，等於1。意即，兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

:<math>0 =-1\cdot 0 =-1\cdot [1+(-1)]</math>

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「&minus;1是1的[[加法逆元]]」。
再使用分配律，我們得到

:<math>0 =-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot1+(-1)\cdot(-1)=-1+(-1)\cdot(-1)</math>

第三個等式依據是：1是乘法運算的[[單位元]]。然後在等式前後加上1

:<math>(-1) \cdot (-1) = 1</math>

以上運算適用於任意[[环 (代数)|環]]。

===負一的平方根===
[[虛數單位|複數<math>i</math>]]滿足{{計算結果|i^2}}，也可視為-1的[[平方根]]。另一个能滿足''x''<sup>2</sup> = −1的複數''x''是−''i''。<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/58251.html |title=Ask Dr. Math |publisher=Math Forum |date= |accessdate=2012-10-14 |archive-date=2019-08-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190815005921/http://mathforum.org/library/drmath/view/58251.html |dead-url=no }}</ref>[[四元數]]的代數包含複數平面，等式''x''<sup>2</sup> = −1擁有無限多組解。

===負一的乘冪===
我們定義<math>x^{-1} = \frac {1}{x}</math>，即代數x的&minus;1次方，或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律<math>x^a\cdot x^b= x^{a+b} \  a,b\in \R</math> 。
負數整數形式的指數可以拓展到環的逆元素，定義<math>x^{-1}</math>作為<math>x</math>的乘法逆元。

函式或矩陣右上的-1不是指數，而是[[反函數]]與[[反矩陣]]。例如：<math>f^{-1}(x)</math>是<math>f(x)</math>的反函數，<math>\sin^{-1}(x)</math>是[[反正弦]]函數。

===负一的对数===
包括-1在内的所有负数在实数域中是没有[[对数]]的，但在复数域，根据欧拉恒等式{{計算結果|e^(i⋅pi)+1}}，可以得出-1的[[自然对数]]<math>\ln {(-1)}=i\pi</math>。

==維數==
{{main|負維空間}}
空集的[[歸納維數]]被定義為-1。在{{link-en|抽象多胞形|Abstract_polytope|抽象幾何學}}中，[[空多胞形]]的維數亦被定義為-1<ref name="steelpillow_VertexFigures">{{cite web | author= Guy Inchbald | title= Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures | url= http://www.steelpillow.com/polyhedra/vertex_figures/VertexFigures.htm#complete | publisher= steelpillow | date= 2005-01-06 | accessdate= 2016-08-02 | archive-url= https://web.archive.org/web/20160819053502/http://www.steelpillow.com/polyhedra/vertex_figures/VertexFigures.htm#complete | archive-date= 2016-08-19 | dead-url= no }}</ref>。

==計算機的表示法==
大多數計算機系統使用[[二補數]]來表示負整數。此系統中，所有位元皆為一以表示-1，若以8-bit有符號整數表示，即為二进制的"11111111"，或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為''n''位無符號整數，''n''個1將表示為2<sup>''n''</sup>&nbsp;−&nbsp;1，且較有符号整數系統能容納更大數值。例如，8-bit的"11111111"表示為{{計算結果|2^8-1}}。

在''[[Сетунь|Setun]]''計算機中 <math>-1</math>以倒轉的阿拉伯數字一「{{反轉|1}}」表示<ref name=setun>{{cite book|title=Programming|year=1963|location=Moscow|author=N.A.Krinitsky |author2=G.A.Mironov |author3=G.D.Frolov|editor=M.R.Shura-Bura|language=ru|chapter=Chapter 10. Program-controlled machine Setun}}</ref>。

== 參見條目 ==
* [[1]]：-1的相反數
* [[数表]]

== 參考文獻 ==
<references/>

[[Category:整数|-1]]
[[Category:一| ]]
[[Category:負一| ]]