查看“︁ℶ 數”︁的源代码

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{{expert|subject=集合论|time=2014-11-09}}
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{{noteTA
|G1=Math
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'''{{Unicode|ℶ }}數'''（读作Beth数）和[[阿列夫数]]類似，也是一系列[[超窮基數]]。

在[[連續統假設]]下，阿列夫数與{{UnicodeMath| ℶ }}數等價：
* [[可數集]]（如[[自然數]]集）的基數標記爲<math>\beth_0</math>，下一個{{UnicodeMath| ℶ }}數被定義爲上一個{{UnicodeMath| ℶ }}數的[[冪集]]的基數，卽：
: <Math>\beth_0 := \operatorname{card}\left( \mathbb{N} \right)</Math>
: <Math>\beth_1 := 2^{\beth_0} = \operatorname{card}\left( P \left( \mathbb{N} \right) \right)</Math>
: <Math>\beth_2 := 2^{\beth_1} = \operatorname{card}(P(P(\mathbb{N})))</Math>
: <Math>\beth_3 := 2^{\beth_2} = \operatorname{card}(P(P(P(\mathbb{N}))))</Math>
: 等等

==定理==
對任意的{{Serif| α }}有<Math>\beth_{\alpha}\geqslant\aleph_{\alpha}</Math>，而[[連續統假設]]卽爲<Math>\beth_1=\aleph_1</Math>乃至<Math>\beth_{\alpha}=\aleph_{\alpha}</Math>。

對{{Serif| α {{=}} 1 }}的情況，證明分兩步：一、{{UnicodeMath|ℵ₀ }}和{{UnicodeMath| ℵ₁ }}之間無其他任何基數；<Ref name=CJGRealValueFun>{{Cite book|author=陳建功|title=實函數論|publisher=科學出版社|date=1958年9月|location=北京}}</Ref>{{Page|29}}二、{{UnicodeMath|ℶ₁ }}比{{UnicodeMath| ℶ₀ }}大（{{Serif|card(2<Sup>''X''</Sup>) > card(''X'')}}）。<Ref name=CJGRealValueFun />{{Page|7}}

==常見叫法==
在中國大陸，[[實數集]]的基數常被記爲{{UnicodeMath|𝖈}}或{{UnicodeMath| ℵ }}，卽{{UnicodeMath| ℵ :{{=}} ℶ₁}}，這樣連續統假設就常常被表述爲{{UnicodeMath| ℵ {{=}} ℵ₁}}．閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學[[數學分析]]（[[微積分]]）時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数，事實上他們遇到的是 “{{UnicodeMath|ℵ}}”或“{{UnicodeMath|𝖈}}”，卽第一個{{UnicodeMath| ℶ }}數。

==參考==
{{Reflist}}

[[Category:集合论]]
[[Category:基数]]
[[Category:无穷]]