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[[數學]]中，'''Θ函數'''是一種{{le|多複變|Several complex variables}}[[特殊函數]]。其應用包括{{le|阿貝爾簇|Abelian variety}}與[[模空間]]、[[二次形式]]、[[孤立子]]理論；其[[格拉斯曼代數]]推廣亦出現於[[量子場論]]，尤其於[[超弦]]與[[D-膜]]理論。
[[File:Jacobi theta 1.png|thumb|Jacobi theta 1]]
[[File:Jacobi theta 2.png|thumb|Jacobi theta 2]]
[[File:Jacobi theta 3.png|thumb|Jacobi theta 3]]
[[File:Jacobi theta 4.png|thumb|Jacobi theta 4]]
Θ函數最常見於[[椭圓函數]]理論。相對於其「''z''」 變量，Θ函數是[[拟周期函数]]（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般{{le|下降理論|Descent (mathematics)}}中，Θ函數是來自[[線叢]]條件。

== 雅可比Θ函數 ==
雅可比Θ函數取二變量<math>z\,</math>與<math>\tau\,</math>，其中<math>z\,</math>為任何[[复数 (数学)|複數]]，而<math> \tau\,</math>為[[上半複平面]]上一點；此函數之定義為：
:<math>\vartheta (z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \ e^{(\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z ) }</math>。
若固定<math> \tau\,</math> ，則此成為一週期為<math> 1 \,</math>的單變量<math>(z)\,</math>[[整函數]]的[[傅里葉級數]]：
:<math>\vartheta( z+1; \tau) = \vartheta (z; \tau)</math> 。
在以 <math> \tau\,</math> 位移時，此函數符合：
:<math>\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \ e^{(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)}\vartheta(z;\tau)</math>；
其中 <math>a \,</math>與<math>b \,</math>為整數。
<gallery>
File:Animation Jacobi Theta1.gif
File:Animation Jacobi Theta2.gif
File:Animation Jacobi Theta3.gif
File:Animation Jacobi Theta4.gif

</gallery>

== 輔助函數 ==
可定義輔助函數：
:<math>\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+\frac{1}{2};\tau)</math>
:<math>\vartheta_{10}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} z}\vartheta(z+\frac{\tau}{2};\tau)</math>
:<math>\vartheta_{11}(z;\tau) = e^{\frac{\pi {\mathrm{i}} \tau}{4} + \pi {\mathrm{i}} (z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2};\tau).</math>
其中符號依[[黎曼]]與[[戴维·芒福德|芒福德]]之習慣；[[雅可比]]的原文用變量<math>q = e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,</math>替換了<math>\tau\,</math>，而稱本条目中的Θ為<math>\theta_3\,</math>，<math>\vartheta_{01}</math>為<math>\theta_0\,</math>，<math>\vartheta_{10}</math>為<math>\theta_2\,</math>，<math>\vartheta_{11}</math>為<math>-\theta_1\,</math>。

若設<math>z= 0 \,</math>，則我们可從以上獲得四支單以<math>\tau\,</math>為變量之函數，其中<math>\tau\,</math>取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我们可以用Θ函數定義一系列[[模形式]]，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得：
:<math>\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4</math>,
是為四次[[費馬最後定理|費馬曲線]]。

== 雅可比恆等式 ==

雅可比恆等式描述[[模羣]]在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設：

:<math>\alpha = (- {\mathrm{i}} \tau)^{\frac{1}{2}} e^{{\pi {\mathrm{i}} z^2}{\tau}}\,</math>

則

:<math>\vartheta (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta(z; \tau)</math>

:<math>\vartheta_{01} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)</math>

:<math>\vartheta_{10} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)</math>

:<math>\vartheta_{11} (\frac{z}{\tau}; -\frac{1}{\tau}) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)</math>

== 以''nome q''表示Θ函數 ==

我们可用變量<math>w\,</math>與<math>q\,</math>，代替<math>z \,</math>與<math>\tau\,</math>，來表示ϑ。設<math>w =e^{\pi {\mathrm{i}} z}\,</math>而<math>q =e^{\pi {\mathrm{i}} \tau}\,</math>。則ϑ可表示為：
:<math>\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}. </math>

而輔助Θ函數可表示為：

:<math>\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},</math>

:<math>\vartheta_{10}(w; q) = q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},</math>

:<math>\vartheta_{11}(w; q) = {\mathrm{i}} q^{\frac{1}{4}} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.</math>

此表示式不需要[[指數函數]]，所以適用於指數函數無每一處定義域，如[[p進數]]域。

== 乘積表示式 ==

[[雅可比三重積恆等式]]（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數<math>w\,</math>和<math>q\,</math>，其中<math>|q|<1 \,</math>而<math>w \neq 0\,</math>，則
:<math>\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right)
\left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.
</math>

此式可以用基本方法證明，如[[戈弗雷·哈罗德·哈代]]和[[爱德华·梅特兰·赖特]]共同编著的《[[数论导引]]》（{{lang-en|''An Introduction to the Theory of Numbers''}}）。

若用''nome''變量<math>q = e^{\pi i \tau}\,</math>與<math>w = e^{\pi i z}\,</math>表示，則有：

:<math>\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. </math>

由此得到Θ函數的積公式：

:<math>\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)
</math>

三重積等式左邊可以擴展成：

:<math>\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),</math>

即

:<math>\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)</math>。

这个式子在''z''取實值時尤為重要。
各輔助Θ函數亦有類似之積公式：

:<math>\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).</math>

:<math>\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).</math>

:<math>\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).</math>

== 積分表示式 ==
雅可比Θ函數可用積分表示，如下：

:<math>\vartheta (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du</math>

:<math>\vartheta_{01} (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.</math>

:<math>\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du</math>

:<math>\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du</math>

== 與黎曼ζ函數的關係 ==
[[黎曼]]常用關係式
:<math>\vartheta(0;-\frac{1}{\tau})=(-i\tau)^{\frac{1}{2}} \vartheta(0;\tau)</math>
以證[[黎曼ζ函數]]之[[函數方程]]。他寫下等式：

:<math>\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) = 
\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right]
t^{\frac{s}{2}}\frac{dt}{t} </math> ；
而此積分於替換<math>s \to 1-s </math>下不變。 <math>z\,</math>非零時之積分，在[[赫尔维茨ζ函數]]一文有描述。

== 與基本椭圓函數之關係 ==
雅可比用Θ函數來構造椭圓函數，並使其有易於計算之形式，因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商，这可参见[[雅可比椭圆函数]]的定义。[[魏爾施特拉斯橢圓函數]]亦可由雅可比Θ構造：

:<math>\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))'' + c</math>

其中二次微分相對於''z''，而常數''c''使<math>\wp(z)</math>的[[罗朗級數]]（於 ''z'' = 0）常項為零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有极点留数均为零，所以这是必要的。

== 與模形式之關係 ==
設η為[[戴德金η函數]]。則
:<math>\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}</math>.

== 解熱方程 ==
雅可比Θ函數為一維[[熱方程]]、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設''z'' = ''x''取實值，τ = ''it''而''t''取正值。則有

:<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>

此解此下方程：

:<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math>。

於''t'' = 0時，Θ函數成為「[[狄拉克梳状函数]]」（Dirac comb）
:<math>\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)</math>，
其中δ為[[狄拉克δ函数]]，故可知此解是唯一的。
因此，一般解可得自''t'' = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。

== 與海森堡羣之關係 ==
雅可比Θ函在[[海森堡羣]]之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之[[Θ表示]]一文。

== 推廣 ==
若''F''為一''n''元[[二次型]]，則有一關連的Θ函數

:<math>\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))</math>
其中''Z''<sup>n</sup>為整數[[格 (羣)|格]]。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權''n''/2 [[模形式]]。在其富理埃級數
:<math>\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)</math>
中，''R''<sub>F</sub>(''k'') 稱為此模形式之「[[表示數]]」（representation numbers）。

=== 拉马努金Θ函數 ===
{{main|拉马努金Θ函數}}

=== 黎曼Θ函數 ===
設

:<math>\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}</math>

為一集對稱方矩陣，其虚部為[[正定矩陣|正定]]，一般稱''H''<sub>''n''</sub>為“[[西格尔上半平面]]”（Siegel upper half-plane），它是[[上半複平面]]的高維推廣。模羣之''n''維推廣為[[辛羣]]Sp(2n,'''Z''')： 當''n'' = 1 時， Sp(2,'''Z''') = SL(2,'''Z''')。[[同余子群]]（congruence subgroup）的''n''維推廣為態射核<math>\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}</math>。

若設<math>\tau\in \mathbb{H}_n</math>，則可定義'''黎曼Θ函數'''：
:<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)</math>；
:<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i 
\left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)</math>；

其中<math>z\in \mathbb{C}^n</math>為一''n''維複向量，上標''T''為[[轉置]]。然則雅可比Θ函數為其特例（設''n'' = 1、 <math>\tau \in \mathbb{H}</math>；其中<math>\mathbb{H}</math>為上半平面）。

在<math>\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.</math>的緊緻子集上，黎曼Θ函數絶對一致收歛。

函數方程為：

:<math>\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i 
\left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)</math>；

此方程成立於
<math>a,b \in  \mathbb{Z}^n</math>, <math>z \in \mathbb{C}^n</math> ， <math>\tau \in \mathbb{H}_n</math>。

=== q-Θ函數 ===
{{main|q-Θ函數}}

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions'', (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. ''(See section 16.27ff.)''
* Naum Illyich Akhiezer, ''Elements of the Theory of Elliptic Functions'', (1970) Moscow, translated into English as ''AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79'' (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'' (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 ''(See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)''
* G. H. Hardy and E. M. Wright，''An Introduction to the Theory of Numbers'', fourth edition (1959) , Oxford University Press
* David Mumford，''Tata Lectures on Theta I'' (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
* James Pierpont ''Functions of a Complex Variable'', Dover
* Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, ''Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces'', (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3.

{{planetmath|urlid=integralrepresetationsofjacobivarthetafunctions|title=Integral representations of Jacobi theta functions}}

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[[Category:椭圓函數]]
[[Category:模形式]]
[[Category:黎曼曲面]]