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[[File:Beta function contour plot.png|thumb|一种B函数图像]]
'''Β函数'''，又称为'''贝塔函数'''或'''第一类[[欧拉积分]]'''，是一个[[特殊函数]]，由下式定义：

:<math>
 \mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t
\!</math>

其中<math>\textrm{Re}(x), \textrm{Re}(y) > 0\,</math>。

== 性质 ==
Β函数具有以下[[對稱]]性質：

:<math>
 \Beta(x,y) = \Beta(y,x).
\!</math>
当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子：

:<math>
 \Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}
\!</math>

它有许多其它的形式，包括：

:<math>
 \Beta(x,y)=\dfrac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\!</math>

:<math>
 \Beta(x,y) =
  2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,\mathrm{d}\theta,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!</math>

:<math>
 \Beta(x,y) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,\mathrm{d}t,
  \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0
\!</math>

:<math>
 \Beta(x,y) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},
\!</math>

:<math>
 \Beta(x,y) = \prod_{n=0}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},
\!</math>

:<math>
 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) =
  \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},
\!</math>

:<math>
 \Beta(x,y) =
  \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}
\!</math>

其中<math>\Gamma\,</math>是[[伽玛函数]]。

就像伽玛函数描述了[[阶乘]]一样，我们也可以用贝塔函数来定义[[二项式系数]]：

:<math>{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}</math>

== 伽玛函数与贝塔函数之间的关系 ==
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为： 

:<math>
 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,\mathrm{d}u \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,\mathrm{d}v.
\!</math>

现在，设<math>u = a^2</math>, <math>v = b^2</math>，因此：

:<math>\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,\mathrm{d}b \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,\mathrm{d}a \,\mathrm{d}b.
\end{align}
\!</math>

利用变量代换<math>a = r\cos\theta</math>和<math>b = r\sin\theta</math>，可得：

:<math>\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, \mathrm{d}r \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, \mathrm{d}\theta \\
& {} = \frac{1}{2}{\color{red}{\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)}\, \mathrm{d}(r^2)}} \, 4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,\mathrm{d}\theta \\
& {} = {\color{red}{\Gamma(x+y)}} \, 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, \mathrm{d}\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y).
\end{align}
</math>

因此，有：

:<math>
 \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.
</math>

== 导数 ==

贝塔函数的导数是：

:<math>{\partial \over \partial x} \mathrm{B}(x, y) = \mathrm{B}(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \mathrm{B}(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))</math>

其中<math>\psi(x)</math>是[[双伽玛函数]]。

== 估计 ==

[[斯特灵公式]]给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：

:<math>\Beta(x,y)\approx\sqrt {2\pi } \frac{{x^{x - \frac{1}{2}} y^{y - \frac{1}{2}} }}{{\left( {x + y} \right)^{x + y - \frac{1}{2}} }}.</math>

== 不完全贝塔函数 ==

'''不完全贝塔函数'''是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的[[定积分]]用[[不定积分]]来代替，就像[[不完全伽玛函数]]是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为：

:<math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!</math>

当''x'' = 1，上式即化为贝塔函数。

'''正则不完全贝塔函数'''（或简称'''正则贝塔函数'''）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：

:<math> I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!</math>

当''a''和''b''是整数时，计算以上的积分（可以用[[分部积分法]]），可得：

:<math> I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}. </math>

正则不完全贝塔函数是[[Β分布]]的[[累積分布函數]]，可由[[二項式分布]]描述一個實[[隨機變量]]X的機率分布：

<math> F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1) = 1 - I_p(k+1,n-k) </math>

其中p為[[試驗成功]]機率，n為樣本數。

=== 性质 ===

:<math> I_0(a,b) = 0 \, </math>
:<math> I_1(a,b) = 1 \, </math>
:<math> I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, </math>

== 参见 ==
* [[Β分布]]
* [[二项分布]]
* [[伽玛函数]]

== 参考文献 ==
* M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm （See §6.2, 6.6, and 26.5）] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm |date=20080524230939 }}''
* W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. ''[https://web.archive.org/web/20080516044136/http://www.nr.com/ Numerical Recipes] in C''. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. ''(See section 6.4)''
* {{planetmath reference|id=6206|title=用拉普拉斯变换来计算贝塔函数|urlname=evaluationofbetafunctionusinglaplacetransform}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20080711054908/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc35.aspx 贝塔函数计算器]
* [https://web.archive.org/web/20070120151547/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc36.aspx 不完全贝塔函数计算器]
* [https://web.archive.org/web/20070120151557/http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx 正则不完全贝塔函数计算器]

{{Authority control}}
[[Category:特殊超几何函数]]
[[Category:伽玛及相关函数]]