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{{Algebraic structures}}
[[抽象代数]]中，'''*-代数'''（或'''对合代数'''）是由两个'''对合环'''''R''、''A''组成的数学结构，其中''R''是交换的，''A''具有''R''上[[结合代数]]的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如[[复数 (数学)|复数]]和[[共轭复数]]、复数上的[[矩阵]]和[[共轭转置]]、[[希尔伯特空间]]上的[[线性算子]]与[[埃尔米特伴随]]。

不过，代数也可能不允许任何[[对合]]。{{efn|这时，“对合”指对合反自同构，也称作反对合。}}

== 定义 ==
===*-环===
{{环论}}
[[数学]]中，'''*-环'''是具有映射<math>{}^*:\ A\to A</math>的[[环 (数学)|环]]，这映射既是[[反同态|反自同构]]也是对合。

更确切地说，<sup>*</sup>要满足以下公理：<math>\forall x,\ y\in A,</math><ref>{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/C-Star-Algebra.html |title=C-Star Algebra |website=Wolfram MathWorld |date=2015 |first=Eric W. |last=Weisstein |authorlink=Eric W. Weisstein |access-date=2023-12-27 |archive-date=2023-05-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230531224402/https://mathworld.wolfram.com/C-Star-Algebra.html |dead-url=no }}</ref> 
* <math>(x+y)^*=x^*+y^*</math>

* <math>(xy)^*=y^*x^*</math>
* <math>1^*=1</math>
* <math>(x^*)^*=x</math>

这也称作'''对合环'''。第三条公理可从第二与第四条推出。

使<math>x^*=x</math>的元素是[[自伴算子|自伴]]的。<ref name=":0">{{Cite web|url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html |title=Octonions |date=2015 |accessdate=2015-01-27 |website=Department of Mathematics |publisher=University of California, Riverside |last=Baez |first=John |author-link = John Baez|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150326133405/http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node5.html |archivedate=2015-03-26 |url-status=live |df= }}</ref>

*-环的典型例子是[[复数域]]和以[[共轭复数]]为对合的[[代数数]]域。可在任意*-环上定义[[半双线性形式]]。

此外，还可定义代数对象的*-版本，如[[理想 (环论)|理想]]和[[子环]]，要求是*-[[不变量 (数学)|不变]]的：<math>x\in I\Rightarrow x^*\in I</math>等等。

在计算理论中，*-环与星[[半环]]无关。

===*-代数===

'''*-代数'''''A''是*-环，{{efn|大多数定义不要求*-代数有乘法[[单位元]]，即*-代数可以只是*-[[伪环]]。}}其对合*是[[交换环|交换]]*-环''R''上的[[结合代数]]，带有对合'，使<math>\forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^*=r'x^*</math>。<ref>{{nlab|id=star-algebra}}</ref>
基*-环''R''通常是复数（其中'为共轭复数）。

据公理可知，''A''上的*在''R''中是[[反线性映射|共轭线性]]的，即<math>\forall \lambda,\ \mu\in R,\ x,\ y\in A,</math>
:<math>(\lambda x+\mu y)^*=\lambda'x^*+\mu'y^*</math>
'''*-同态'''<math>f:\ A\to B</math>是与''A''、''B''的对合相容的[[代数同态]]，即
* <math>\forall a\in A,\ f(a^*)=f(a)^*.</math><ref name=":0" />

===*-运算的哲学===
*-环上的*-运算类似于复数上的[[共轭复数]]。*-代数上的*-运算类似于在复[[矩阵环|矩阵代数]]中取[[共轭转置|伴随]]。

===符号===
*对合是[[一元运算]]，记作后置的星号，位于[[主线]]上方或附近：
: {{math|size=120%|''x'' ↦ ''x''*}}，或
: {{math|size=120%|''x'' ↦ ''x''<sup>∗</sup>}}

但不能是<math>x*</math>。
==例子==
* [[交换环]]配备平凡（[[恒等映射|恒等]]）对合成为*-环。
* 人们最熟悉的[[实数]]上的*-环和*-代数是复数域，[[共轭复数]]发挥对合*的作用。
* 更一般地，通过[[平方根]]（如[[虚数单位]]<math>\sqrt{-1}</math>）的伴随得到的[[域扩张]]是原域上的*-代数，视作平凡*-环。*可[[加法逆元|翻转]]平方根的符号。 
* [[二次整数]]环（对某些''D''）是交换*-环，*的定义与此类似；[[二次域]]是适当二次整数环上的*-代数。
* [[四元数]]、[[双曲复数]]、[[二元数]]，可能还有其他[[超复数]]系构成*-环（带有内置的共轭运算）及实数上的*-代数（*是平凡的）。三者都不是复代数。
* [[赫维兹四元数]]形成非交换*-环，带有四元共轭。
* 实数上''n''阶方阵的[[矩阵环|矩阵代数]]，*是[[转置]]。
* 复数上''n''阶方阵的矩阵代数，*是[[共轭转置]]。
* 其推广，即[[希尔伯特空间]]上有界线性算子代数及其[[埃尔米特伴随]]也定义了*-代数。
* 交换平凡*-环''R''上的[[多项式环]]<math>R[x]</math>是''R''上的*-代数，<math>P^*(x)=P(-x).</math>
* 若<math>(A,\ +,\ \times,\ {}^*)</math>是*-环、（交换）''R''[[环上的代数]]、<math>\forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^*=r(X^*)</math>，则''A''是''R''上的*-代数（其中*平凡）。
** *-环都是[[整数]]上的*-代数。
* 交换*-环是自身的*-代数，更一般地，也是其任意*-子环的*-代数。
* 交换*-环''R''对自身*-理想的[[商环|商]]是''R''上的*-代数。
** 例如，任意交换平凡*-环都是其对偶数环上的*-代数，即具有非平凡*的*-环，因为对<math>\varepsilon=0</math>的商使原环复原。
** 交换环''K''及其多项式环<math>K[x]</math>也如此：对<math>x=0</math>的商使''K''复原。
* [[黑克代数]]中，对合对[[卡日丹-卢斯蒂格所行驶]]非常重要。
* [[椭圆曲线]]的[[自同态环]]成为整数上的*-代数，其中对合是取[[对偶阿贝尔簇|对偶同源]]。类似的构造也适于有极化的[[阿贝尔簇]]，当中称作[[洛萨提对合]]（见Milne的阿贝尔簇讲义）。
[[霍普夫代數#定義|对合霍普夫代数]]是*-代数的重要例子（具有相容[[余代数#定义|余乘法]]的附加结构）；最常见的例子是：
* [[群霍普夫代数]]：[[群环]]，对合是<math>g\mapsto g^{-1}</math>。

==反例==
不是所有代数都允许对合：

考虑复数上的2阶方阵的子代数：
<math display="block">\mathcal{A} := \left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix} : a,b\in\Complex\right\}</math>

任何非平凡反自同构必为如下形式：<ref>{{Cite journal |last=Winker |first=S. K. |last2=Wos |first2=L. |last3=Lusk |first3=E. L. |date=1981 |title=Semigroups, Antiautomorphisms, and Involutions: A Computer Solution to an Open Problem, I |url=https://www.jstor.org/stable/2007445 |journal=Mathematics of Computation |volume=37 |issue=156 |pages=533–545 |doi=10.2307/2007445 |issn=0025-5718 |access-date=2023-12-27 |archive-date=2023-06-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230613193551/https://www.jstor.org/stable/2007445 |dead-url=no }}</ref>
<math display="block">\varphi_z\left[\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix} \quad \varphi_z\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}</math>
对任意复数<math>z\in\Complex</math>。

由此可见，任何非平凡反自同构都不是幂等的：
<math display="block">\varphi_z^2\left[\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\right] = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}</math>

结论是，子代数不允许任何对合。

==附加结构==
[[转置]]的很多性质在一般*-代数中成立：
* [[自伴算子|埃尔米特]]元素形成[[若尔当代数]]；
* 斜埃尔米特元素形成[[李代数]];
* 若2在*-环中可逆，则算子<math>\frac12(1+{}^*),\ \frac12(1-{}^*)</math>是正交[[幂等]]，<ref name=":0" />称为对称与反对称，因此代数分解为对称与反对称（埃尔米特、斜埃尔米特）元素[[模]]的直和（若*-环是域则为[[向量空间]]）。这些空间一般不构成结合代数，因为幂等是算子，而不是代数中的元素。
===斜结构===
给定*-环，有映射<math>-^*:\ x\mapsto -x^*</math>。由于<math>1\mapsto -1</math>，它并不定义*-环结构（除非[[特征标]]为2，这时−*与原*相同），也没有反乘法性，但满足其他公理（线性、对合），因此与<math>x\mapsto x^*</math>的*-代数非常相似。

由这映射固定的元素（即满足<math>a=-a^*</math>者）称作斜埃尔米特的。

对带复共轭的复数，实数是埃尔米特元素，虚数是斜埃尔米特元素。

==另见==
*[[C*-代数]]
*[[剑标范畴]]
*[[冯诺依曼代数]]
*[[贝尔环]]
*[[算子代数]]
*[[共轭元素]]
*[[凯莱-迪克森结构]]
*[[合成代数]]

==脚注==
{{noteslist}}

==参考文献==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:*-代数}}
[[Category:环论]]